Alguns tópicos sobre Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares, nas incógnitas $x_1, x_2, \ldots, x_n$, é uma conjunção de um número finito de $m$ ($m \in \mathbb{N}$) equações lineares:

$$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j=b_i, \,i=1, \ldots, m$$

As equações lineares são caracterizadas pelo facto de as incógnitas serem do primeiro grau, como $x$, $ y$, $z$, $w$, etc, ou seja, não se verifica o produto entre variáveis, como, por exemplo, $x^2$ e $xy$. A forma mais usual de representar sistemas de equações é a seguinte:

$$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12}x_{2}+ \ldots +a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22}x_{2}+ \ldots +a_{2n}x_n=b_2 \\ \ldots \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\; = \,\ldots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2}x_{2}+ \ldots +a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right. $$

No sistema, a $a_{ij} \in \mathbb{R}$, $i=1, \ldots, m$ e $j=1, \ldots ,n$, chamam-se coeficientes do sistema, e a $b_i \in \mathbb{R}$, $i=1, \ldots m$, termos independentes.

Um sistema pode ser modelado através de matrizes, pois o produto da matriz dos coeficientes, pela matriz (coluna) das incógnitas é uma matriz coluna cujos elementos são os membros do lado esquerdo das equações do sistema dado. Igualando esta matriz produto à matriz dos termos independentes, ficam reproduzidas as equações do sistema original. Assim, pode escrever-se como

$$\underbrace{\left[ \begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} \right]}_{\mbox{$\mathbf{A}$}} \times \underbrace{\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]}_{\mbox{$\mathbf{X}$}} = \underbrace{\left[ \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right]}_{\mbox{$\mathbf{B}$}} $$

A não comutatividade da multiplicação de matrizes justifica que esta ordem não seja trocada, pois $\mathbf{AX} \neq \mathbf{XA}$). A matriz $\mathbf{A}$ é a matriz do sistema, ou matriz dos coeficientes do sistema; $\mathbf{X}$ é a matriz das incógnitas; e $\mathbf{B}$ é a matriz dos termos independendes das equações.

Embora se possam manipular diretamente as equações do sistema, as matrizes fornecem uma alternativa conveniente para resolver sistemas lineares. Efetuando operações elementares a uma matriz, chamada de ampliada do sistema, de dimensão $m \times (n+1)$, obtêm-se matrizes equivalentes e sob determinadas condições, sistemas lineares equivalentes. Estas condições resumem-se não trocar a coluna dos termos independentes e ter em consideração que a troca de colunas tem como efeito a troca da posição de incógnitas do sistema, isto porque na matriz $\mathbf{A}$ cada coluna corresponde aos coeficientes de uma incógnita.

A matriz ampliada correspondente ao sistema definido anteriormente é

$$ [\mathbf{A}|\mathbf{B}]=\left[ \begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} & b_m \end{array} \right] $$

Um sistema de $m$ equações lineares e $n$ incógnitas, pode ter, ou não, solução. Uma solução é um conjunto de valores para as diferentes incógnitas que, quando concretizado, transforma, simultaneamente, cada uma das equações numa proposição verdadeira. A existência de solução e, a existir, o tipo de solução, pode ser analisada usando as características da matriz $\mathbf{A}$ e da matriz ampliada $[\mathbf{A}|\mathbf{B}]$. Assim,

  • Se $r(\mathbf{A}) < r([\mathbf{A}|\mathbf{B}])$, então o sistema não tem solução, por isso,
    diz-se impossível.
  • Se $r(\mathbf{A}) = r([\mathbf{A}|\mathbf{B}])$, então o sistema é possível. Nesse caso, pode ter uma só solução (diz-se possível e determinado), ou uma infinidade
    de soluções (diz-se possível e indeterminado).
    • Se $r(\mathbf{A}) = r([\mathbf{A}|\mathbf{B}])=n$, o sistema é possível determinado.
    • Se $r(\mathbf{A}) = r([\mathbf{A}|\mathbf{B}]) < n$, o sistema é possível indeterminado. Quando um sistema é indeterminado, há, pelo menos, uma incógnita livre, isto é, que pode tomar qualquer valor real. Quantas ao certo? $n-r(\mathbf{A})$. Este valor indica o grau de indeterminação do sistema: $$g.i = n-r(\mathbf{A})$$

COMO RESOLVER UM SISTEMA POSSÍVEL?

Para a resolução de sistemas possíveis determinados, existem várias formas, mas aqui focar-se-ão três métodos: 1) método de Eliminação de Gauss e Gauss-Jordan; 2) usando a matriz inversa da matriz do sistema; e 3) usando a regra de Cramer. Mas atenção, estes dois últimos não se aplicam a sistemas indeterminados, pois a matriz dos coeficientes do sistema pode nem ser quadrada.

Dado o sistema $S$ definido por

$$ S:\left\{\begin{array}{l} x - 3y+ 5z=1 \\ 2x-3y+z=3 \\ -x+2y-z=0 \end{array} \right. $$

apresentam-se as resoluções através dos métodos mencionados. Aplicando o método de Eliminação de Gauss, começa-se por construir a matriz amplidada do sistema e, em seguida, determina-se uma forma de escada da matriz. na fase em que se tem uma matriz do sistema na forma triangular, a solução é extraída a partir da última equação, pois será a que fica com menos variáveis.

$$ [\mathbf{A}\,|\,\mathbf{B}]=\left[ \begin{array}{rrr|r} ① & -3 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & 3 \\ -1 & 2 &-1 & 0 \end{array} \right]\hspace{-1mm} \begin{array}{ccc} \longrightarrow & \\ \ell_2-2\,\ell_1 & \\ \ell_3+\ell_1 & \end{array} \hspace{-5mm} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 5 & 1 \\ 0 & ③ & -9 & 1\\ 0 & -1 & 4 & 1 \end{array} \right] \hspace{-1mm} \begin{array}{ccc} \longrightarrow & \\ & \\ 3\,\ell_3+\ell_2 & \end{array} \hspace{-5mm} $$ $\hspace{27.5mm}\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & -9 & 1\\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right] $

Note-se que em cada etapa se obtém uma matriz equivalente à matriz ampliada do sistema, sendo o sistema associado, equivalente ao inicial, pelo que terão igual solução. Esta matriz corresponde ao sistema definido por

$$ \left\{\begin{array}{l} x - 3y+ 5z=1 \\ 3y-9z=1 \\ 3z=4 \end{array} \right. $$

Trata-se de um sistema mais simples e equivalente ao sistema inicial, ou seja: $$\left\{\begin{array}{l} x - 3y+ 5z=1 \\ 2x-3y+z=3 \\ -x+2y-z=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x - 3y+ 5z=1 \\ 3y-9z=1 \\ 3z=4 \end{array} \right. $$ Resolvendo a última equação, tem-se $z=\frac{4}{3}$. Substituindo este valor em $z$ na segunda equação, obtém-se $y= \frac{13}{3}$; e, finalmente, substituindo $y$ e $z$ na primeira equação, obtém-se $x=\frac{22}{3}$, tendo-se, assim, a solução do sistema e, por conseguinte, a solução do sistema original.

Usando o método de Gauss-Jordan, coloca-se a matriz ampliada na forma de escada reduzida (condensada), o que torna o processo mais eficiente, apesar de se aplicarem mais operações elementares, uma vez que ficam disponíveis, diretamente, os valores para as diferentes incógnitas. Usando o exemplo anterior, partindo da última matriz obtida e realizando a fase ascendente do processo, obtém-se

$$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & -9 & 1\\ 0 & 0 & ③ & 4 \end{array} \right]\hspace{-1mm} \begin{array}{ccc} 3\ell_1-5\ell_3 & \\ \ell_2+3\ell_3 & \\ \longrightarrow & \end{array} \hspace{-5mm} \left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & -9 & 0 & -17 \\ 0 & ③ & 0 & 13\\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right]\hspace{-1mm} \begin{array}{ccc} \ell_1+3\ell_2 & \\ \longrightarrow& \\ & \end{array} \hspace{-5mm}$$ $ \hspace{18mm}\left[ \begin{array}{rrr|r} 3 & 0 & 0 & 22 \\ 0 & 3 & 0 & 13\\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right]\hspace{2mm} \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\frac{1}{3}\ell_1} & \\ \frac{1}{3}\ell_2 & \\ \frac{1}{3}\ell_3 & \end{array} \hspace{-1mm} \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & \frac{22}{3}\\ 0 & 1 & 0 & \frac{13}{3}\\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{3} \end{array} \right] $

Uma vez que durante todo o processo não foram trocadas as colunas da matriz do sistema, tem-se, como inicialmente, a primeira coluna correspondente a $x$, a segunda a $y$ e a terceira a $z$, donde se conclui, de imediato, que $x=\frac{22}{3}$, $y=\frac{13}{3}$ e $z=\frac{4}{3}$.

Exemplo

De acordo com o ponto 2), a inversa da matriz do sistema também pode ser utilizada para resolver um sistema de equações lineares possível e determinado, pois o determinante da matriz dos coeficientes do sistema é não nulo (uma condição para a existência de inversa), sendo o caso do sistema $S$ do exemplo anterior. O sistema $S$ pode ser definido através da equação matricial $ \mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{B}$. Resolvendo esta equação, obtém-se a solução do sistema.

$$ \mathbf{A} \mathbf{X} = \mathbf{B} \Leftrightarrow \underbrace{\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}}_{= \mathbf{I}} \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} $$

Como $\mathbf{A}^{-1} \mathbf{A}= \mathbf{I}$ e $\mathbf{I}\mathbf{X} = \mathbf{X}$ (a identidade é elemento neutro da multiplicação de matrizes), a solução do sistema é

$$ \mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{B} $$

Assim, para obter a solução do sistema $S$, basta determinar a inversa da matriz do sistema e multiplicá-la pela matriz dos termos independentes (por esta ordem). Ora, a inversa de $\mathbf{A}$ é

$$ \mathbf{A}^{-1}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & -3 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 2 &-1 \end{array} \right]^{-1} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 4 \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 3 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1 \end{array} \right] $$

pelo que a solução do sistema é

$$ \mathbf{X} = \left[ \begin{array}{rrr} \frac{1}{3} & \frac{7}{3} & 4 \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} & 3 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 1 \end{array} \right] \times \left[ \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right]= \left[ \begin{array}{r} \frac{22}{3} \\ \frac{13}{3} \\ \frac{4}{3}\\ \end{array} \right] $$

O método mencionado no ponto 3) para determinar a solução do sistema, é a regra de Cramer, que se baseia no cálculo de determinantes. Tem a vantagem de se poder determinar a solução para uma incógnita em particular, sem necessidade de calcular qualquer das restantes (imagine-se um sistema com 50 incógnitas e se pretende conhecer o valor de $x_{45}$).

REGRA DE CRAMER

A única solução de um sistema definido pela equação $\mathbf{AX}=\mathbf{B}$, na qual $\mathbf{A}$ é uma matriz invertível de ordem $n$, é dada por $ x_j=\frac{|\mathbf{A}_j|}{|\mathbf{A}|}$, $j=1, \ldots, n$, em que $\mathbf{A}_j$ é a matriz que se obtém de $\mathbf{A}$, substituindo a coluna $j$ pela coluna dos termos independentes.

Usando o sistema do exemplo anterior, cuja matriz ampliada é, recorde-se,

$$ [\mathbf{A}\,|\,\mathbf{B}]=\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & -3 & 5 & \color{#578BBC}{1} \\ 2 & -3 & 1 & \color{#578BBC}{3} \\ -1 & 2 &-1 & \color{#578BBC}{0} \end{array} \right] $$

O determinante de

$$|\mathbf{A}|= \left| \begin{array}{rrr} ① & -3 & 5 \\ 2 & -3 & 1 \\ -1 & 2 &-1 \end{array} \right| \begin{array}{c} = & \\ \ell_2-2\,\ell_1 & \\ \ell_3+\ell_1 & \end{array} \hspace{-5mm} \left|\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 5 \\ 0 & ③ & -9 \\ 0 & -1 & 4 \end{array} \right| \begin{array}{c} = \\ \\ \ell_3+\frac{1}{3}\ell_2 \end{array} \left|\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 5 \\ 0 & 3 & -9 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| $$

Tem-se, agora, o determinante de uma matriz triangular, pelo que este é igual ao produto dos elementos principais:

$$|\mathbf{A}|= 1 \times 3 \times 1 = 3 \neq 0$$

A solução do sistema é

$$ x\,=\, \frac{\left|\begin{array}{rrr} \color{#578BBC}{1} & -3 & 5 \\ \color{#578BBC}{3} & -3 & 1 \\ \color{#578BBC}{0} & 2 & -1 \end{array} \right|}{3} \hspace{5mm} y\,=\, \frac{\left|\begin{array}{rrr} 1 & \color{#578BBC}{1} & 5 \\ 2 & \color{#578BBC}{3} & 1 \\ -1 & \color{#578BBC}{0} & -1 \end{array} \right|}{3} \hspace{5mm} z\,=\, \frac{\left|\begin{array}{rrr} 1 & -3 & \color{#578BBC}{1} \\ 2 & -3 & \color{#578BBC}{3} \\ -1 & 2 & \color{#578BBC}{0} \end{array} \right|}{3} $$

Após efetuar os cálculos dos determinantes, obtém-se,

$$ x = \frac{22}{3} \hspace{10mm} y = \frac{13}{3} \hspace{10mm} z = \frac{4}{3} $$

em conformidade com o que foi obtido pelos métodos anteriores.

Para a resolução de sistemas classificados como possíveis e indeterminados, dos métodos usados anteriormente, apenas os métodos de Eliminação de Gauss ou Gauss-Jordan podem ser aplicados. Isto porque, nesses casos, as matrizes dos sistemas são, em geral, matrizes retangulares não quadradas ou são quadradas com determinante nulo. A solução de um sistema possível indeterminado é uma solução geral, pois estará dependente de, pelo menos, uma incógnita livre (dependendo do grau de indeterminação do sistema).

Exemplo

$\leftarrow$ anterior